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M2 連 out of syllabus 嘅嘢都考過，例如 tr(X)、eigenvalue λ、Integrate secθ…… 咁有咩可能溫得曬呢？🥲⁣
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呢個問題係典型嘅「攞苦嚟辛」煩惱，因為從來都無書係溫得曬。🙂⁣
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早喺明朝，張岱已經喺《小序》講你知「學海無邊，書囊無底。」你要做嘅嘢永遠係盡力游，游得比人遠，比人更接近彼岸。⁣
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因此，你真正要問嘅問題係：我要點樣比人溫得更好？🤓⁣
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咁就有得答了，而且答案就喺自己身上：你會因為愁溫唔曬書而洩氣，即係梗會有其他人同一個原因而洩氣，因此你只要擺脫以及溫唔曬書嘅煩惱，你已經贏咗一堆人😎⁣
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咁有咩方法擺脫溫唔曬書嘅煩惱🥲⁣
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方法係：定小目標，令無涯變有涯。以準備M2為例，唔理佢可以考乜，先KO曬近10年PastPaper嘅每一題先，我假設每年有12題，近10年一共120題，夠有涯未？🤩⁣
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喺徹底識曬呢120題之前，唔准愁任何潛在可能考你嘅concepts，先處理實在嘅問題，踏出眼前嘅步伐，否則就會陷入「坐這山、望那山」嘅劣習。⁣
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#M2技巧王 幫你避開考評陷阱，教你搶分技巧；M2 輕鬆攞 Lv 5+ 喇🌟⁣
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🎲賭Sir｜高階數學考試專家⁣
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🎓21 項數學公開試．以一 Take 過考取完美戰績⁣
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DSE：Math+M1+M2【5**】⁣
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IAL：C12+C34+F1+F2+F3+M1+M2+M3+S1+S2+S3+D1【A】⁣
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頻道 #杜氏數學 2016 年創辦，訂閱 65,000+，多條教學影片點擊 100,000+；2018 年獲出版社邀請，撰寫暢銷書《5**數學男人嫁得過》推廣「聰明應試」理念，並鼓勵年青人堅守自信。⁣
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🧠以心理學、高效學習融入補習教育當中⁣
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從中文大學風險管理學士畢業之後，鑽研超速學習法（Ultralearning）及教育心理學，將高效學方法先行用於自己身上，無間斷學習新知識；四年後重返校園，完成中文大學數學碩士（大數據分析）課程，期間考入門薩學會（Mensa），實證超速學習法。⁣
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🏆座右銘⁣
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好多人以為自己因為對數學無興趣，所以數學低分；事實剛好相反：因為自己數學低分，所以對數學無興趣。試諗下，若然你有歌神嘅聲線，你仲會對唱歌無興趣嗎？⁣
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#數學 #DSE #dser #math #maths #afterschool #dsemath #examskills #mathtutor #followme #2022DSE #2023DSE #2024DSE #tutor #mathtutor #DSEfighter #tutotial ⁣

【「1900-45年間，日本為中國帶來的利多於弊」—昨日考卷犯下今日政治不正確 | 盧斯達 on Patreon】

殖民者要攻打教育界，因為教育建制是前朝餘孽，又誤以為年輕人激進反中，是老師教壞。早前他們把鴉片戰爭史觀爭議放得很大，令好多藍絲高呼「依家學校咁教歷史」，花容失色，做了一個清剿的氛圍。

從來不是DSE歷史科考卷具體上有問題，而是一定要打。先射了箭，再劃靶；等於毛澤東搞政治運動之前，心裡先定出一個「死人百份比」，例如每個縣要整死10%人口，下面就去執行，過程之中是斬死、射死、浸死、活埋……其實都無關宏旨，總之有人要死就是。我個人就很明白這條無辜問題的感受：關我撚事咩。

被欺凌的問題是這條：「1900-45年間，日本為中國帶來的利多於弊。你是否同意者說法？試參考資料C和D，並就你所知，解釋你的答案。」

教育局發聲明批評問題遍頗，「嚴重傷害了在日本侵華戰爭中受到莫大苦難的國民的感情和尊嚴」。

同類問題年年有

自己會考有中史，高考有中史，大學也是讀歷史。這類題型，公開考試總有一題給你發揮。要結合資料分析，但通常都是兩邊皆有道理；如果要chok高分，就選擇容易和主流立場，但又要表達出自己透徹理解另一邊理據，只是權衡之後給出四平八穩的判斷，好虛偽的。

這條問題然而真的很無辜。

第一，它沒有指明是「侵華戰爭」，而是拉長到1900-45年，近半世紀，可理解為日本人為中國帶來的各種影響，必然超出純軍事領域。如果只談侵華戰爭，等於沒看清問題，一定要扣分。

第二，題目之「中國」是指甚麼？是指中國文化？繼清而起的中華民國本身？中國國民黨？中國共產黨？還是中國人民？這條題，本身就要釐清「中國」指涉甚麼。這題蘊藏了無限個答法，都可以言之成理。

至於資料C及D，就是提及日本幫過中國的事情。那麼似乎設定上是想考生既看到這一點，也知道日軍侵華，然後權衡兩者孰輕孰重罷了。

史科一向如此出題，教育局馬上演繹為「竟然開放討論侵華戰爭有冇好處」，亂打一套愛國套路。教育局批鬥方法，貌似是抱持這一條史觀：中國人在侵華戰爭受害。那好，則多年來都會問的同類問題，例如「秦始皇不惜民力，四處打仗、築長城，二世而亡，對中國是利多還是弊多」，也可以演繹為「竟然開放討論種族屠殺、單邊孤立、奴役人民有沒有好處」，昨日的考卷會犯下今日的政治不正確。

類似題目，確實年年都有：漢武帝武功內政很強，但花太多錢埋下了西漢中衰種子，其統治對漢朝是利多弊多？之類之類。萬變不離其宗。

歷史經常會令人問假設性問題

1900-45年間，日本對中國可以是利多於弊，可以認同，因為沒有日本人打進來，中國人就不會團結起來，國民黨的腐敗統治就不會崩潰，崩潰了就有新中國，就有今日強大的祖國……你這樣答，結合史料和發展，其實都是言之成理。問題是竟然想整條題目取消，連考生想親共媚中拿分數也不給機會。有歷史，就有演繹，就有史觀；歷史不斷被重新檢閱和解釋。

反對問假設性問題，就是覺得歷史思考都可以定於一尊。司馬遷夠勁未，他都是說「究天人之際 通古今之變 成一家之言」，他都只不過說自己是「一家」，也就是搜集史料者，也同時是其中一個解釋演繹者。

事實上司馬遷也是風格史家，抱持樸素道家、自由主義去寫史，跟後來重視道德、跟王朝正統滲和在一起的官史不一樣。

整件事在這個現實政治時空非常詭異。武肺病毒、貿易戰、美國圍堵......中國越來越需要日本，至少要阻止日本全面親美；中國去年年底前後，已經不停親日，官媒說過「有日本這樣一個鄰國，挺好的」，大概是會上床的，只是肺炎打亂了雙方節奏。不知道教局是否想跟老泛民合作搞返保護釣魚台、一齊去日本靖國神社燒野，這不是更加政治不正確？

中國要親日，起碼不反日，香港特區就擺姿態起勢反日。況且反日現象，中國自1900年以來，都是階級分明。權貴和知識份子，知道好東西在外頭。愛國反日運動，都是一班低下層屌絲發泄精力，黨還要提醒他們要節制，免得損了中日關係。中國底下層人反日傻B多，黨內菁英如王歧山卻識貨會讀蒙古世界史觀的岡田英弘。

中國是一個，裡面卻分三六九等，像金字塔，這個文明模式，空無點墨的教育官僚是否沒想過呢？老毛勸真心左膠文青：勸君少罵秦始皇。我們也要勸，若要認做中國人，就少罵點日本人。自己的中國性存在，會更加本真。因為近代東亞文化，全套經過日本改造，互相滲透，根本擺脫不了。

下等中國人比較反日

清末以來大部份知識份子，都是留日派；皇朝滅亡前後，中國現代知識，幾乎全部是日本進口。沒有和製漢語，白話文都不知道怎樣寫；沒有日本政治庇護反清失敗者，沒有日本黑龍會和泛亞主義者支持中國革命者，革命也不會在辛亥年爆發。

電影《男人40》張學友在中文課教魯迅，「你不識貨，魯迅很潮，魯迅是我們中國第一代去東京留學兼掃貨的帥哥」。中國人立憲、國族思想，模仿日本。從思想史的角度，1900-45年間，日本的確為中國帶來好多思想革命，只是學問和文明輸入，能否抵償之後的破壞和殺伐，就是一個價值判斷；但首先你站在哪一個位置去回答，是中國文明？是中國人？是國民黨？是共產黨？那就形成了不同史觀和答法。

讀歷史你以為是自己看歷史，但最後你在歷史的鏡中，看見自己倒映出來的意識形態自身。

親中媚共也要合乎常理，但愛國愛黨現在要激進化，確實也是不太需要講合理與否。以中國利益來看，國家大局是不能和日本反目成仇，教育局就應該站穩「日本都幫助了中國現代化好多好多」這條線。近代日本與中國，是文明秩序逆輸出，這也是實情。有關史料浩瀚不繼其數。其實將時間再推到1900年之前，事實都是日本 (不自覺情況下) 再造了中國。

例如我以前的系主任麥勁生，沒有深交，據說他專長研究近代軍事史，在《近代中國海防史新論》的結論他有一段是這樣說：

//……戰勝國的榮耀光環，令日本逐步展現對外的擴張野心，試圖在1909年吞併朝鮮後，繼續將視野轉移至分崩離析的滿清皇朝。打出日中提攜論的好處是，既可避免即時觸及列強在華利益的敏感神經，又可以鄰國同文同種之義，進行軟性的外交攻勢。蓋其時英、美、法、德等國，無一不在計量動蕩中國可能出現的政治走向。儘管同盟會在歷次起義中取得一些武裝經驗，但直至辛亥革命前夕，在晚清親王和袁世凱的領導輔助下，清政府仍然代表著中國的正統管治。清政府與明治日本的關係，雖未至於如日本所言臻於「水乳交融」，但觀乎20世紀初以來日本文明向中國輸出的事實，明治維新的各項進步內容，於政府憲法、教育學制、文藝思潮、經濟貿易等環節，均無疑為中國留學日本的知識份子的吸收對象，兩者地緣文化的相互結連因素，處於與日加強的態勢中。

中國曾受辱於日本戰艦，卻迅速從富國強兵的國家層次積極學習對手優點，反映了晚清志士在國際舞台的存在問題上，逐漸開展了更寬廣的圖強心志。由此對日本戰勝俄國，也抱持著亞洲黃種戰勝歐洲白種的地區認同心理。這些微妙而複雜的情結，以及日中主客的獨特環境，多少可以解釋《華瀛寶典》在編彙過程中，往往由日方官僚政客的觀點主宰，以精神導師的地位，強烈宣揚日本在對外戰鬥中取得的建樹，並赤裸裸地向中國標示明治海軍的組建規模，以期達致使中國信用的心理。//

當然，這與政治立場無關，親不親中，都應知道這些。日本就是新中國的 (其中一個) 師傅，怎樣都否認不了。恐怕只有街上和政府裡的盲毛，才以為日本和中國一向是世仇設立？當然動手的人，其實也不是在乎學問，而是想鬥人罷了。無緣無故才是鬥。

查維基發現原來麥生在2019年11月「出任香港考試及評核局公開考試總監」，現在歷史卷出了事，不知會否波及到。只能說體制內外，都沒有一片必然是太平無事的風景了。

付費內容及課金通道：https://www.patreon.com/lewisdada

【「1900-45年間，日本為中國帶來的利多於弊」—昨日考卷犯下今日政治不正確 | 盧斯達 on Patreon】

殖民者要攻打教育界，因為教育建制是前朝餘孽，又誤以為年輕人激進反中，是老師教壞。早前他們把鴉片戰爭史觀爭議放得很大，令好多藍絲高呼「依家學校咁教歷史」，花容失色，做了一個清剿的氛圍。

從來不是DSE歷史科考卷具體上有問題，而是一定要打。先射了箭，再劃靶；等於毛澤東搞政治運動之前，心裡先定出一個「死人百份比」，例如每個縣要整死10%人口，下面就去執行，過程之中是斬死、射死、浸死、活埋……其實都無關宏旨，總之有人要死就是。我個人就很明白這條無辜問題的感受：關我撚事咩。

被欺凌的問題是這條：「1900-45年間，日本為中國帶來的利多於弊。你是否同意者說法？試參考資料C和D，並就你所知，解釋你的答案。」

教育局發聲明批評問題遍頗，「嚴重傷害了在日本侵華戰爭中受到莫大苦難的國民的感情和尊嚴」。

同類問題年年有

自己會考有中史，高考有中史，大學也是讀歷史。這類題型，公開考試總有一題給你發揮。要結合資料分析，但通常都是兩邊皆有道理；如果要chok高分，就選擇容易和主流立場，但又要表達出自己透徹理解另一邊理據，只是權衡之後給出四平八穩的判斷，好虛偽的。

這條問題然而真的很無辜。

第一，它沒有指明是「侵華戰爭」，而是拉長到1900-45年，近半世紀，可理解為日本人為中國帶來的各種影響，必然超出純軍事領域。如果只談侵華戰爭，等於沒看清問題，一定要扣分。

第二，題目之「中國」是指甚麼？是指中國文化？繼清而起的中華民國本身？中國國民黨？中國共產黨？還是中國人民？這條題，本身就要釐清「中國」指涉甚麼。這題蘊藏了無限個答法，都可以言之成理。

至於資料C及D，就是提及日本幫過中國的事情。那麼似乎設定上是想考生既看到這一點，也知道日軍侵華，然後權衡兩者孰輕孰重罷了。

史科一向如此出題，教育局馬上演繹為「竟然開放討論侵華戰爭有冇好處」，亂打一套愛國套路。教育局批鬥方法，貌似是抱持這一條史觀：中國人在侵華戰爭受害。那好，則多年來都會問的同類問題，例如「秦始皇不惜民力，四處打仗、築長城，二世而亡，對中國是利多還是弊多」，也可以演繹為「竟然開放討論種族屠殺、單邊孤立、奴役人民有沒有好處」，昨日的考卷會犯下今日的政治不正確。

類似題目，確實年年都有：漢武帝武功內政很強，但花太多錢埋下了西漢中衰種子，其統治對漢朝是利多弊多？之類之類。萬變不離其宗。

歷史經常會令人問假設性問題

1900-45年間，日本對中國可以是利多於弊，可以認同，因為沒有日本人打進來，中國人就不會團結起來，國民黨的腐敗統治就不會崩潰，崩潰了就有新中國，就有今日強大的祖國……你這樣答，結合史料和發展，其實都是言之成理。問題是竟然想整條題目取消，連考生想親共媚中拿分數也不給機會。有歷史，就有演繹，就有史觀；歷史不斷被重新檢閱和解釋。

反對問假設性問題，就是覺得歷史思考都可以定於一尊。司馬遷夠勁未，他都是說「究天人之際 通古今之變 成一家之言」，他都只不過說自己是「一家」，也就是搜集史料者，也同時是其中一個解釋演繹者。

事實上司馬遷也是風格史家，抱持樸素道家、自由主義去寫史，跟後來重視道德、跟王朝正統滲和在一起的官史不一樣。

整件事在這個現實政治時空非常詭異。武肺病毒、貿易戰、美國圍堵......中國越來越需要日本，至少要阻止日本全面親美；中國去年年底前後，已經不停親日，官媒說過「有日本這樣一個鄰國，挺好的」，大概是會上床的，只是肺炎打亂了雙方節奏。不知道教局是否想跟老泛民合作搞返保護釣魚台、一齊去日本靖國神社燒野，這不是更加政治不正確？

中國要親日，起碼不反日，香港特區就擺姿態起勢反日。況且反日現象，中國自1900年以來，都是階級分明。權貴和知識份子，知道好東西在外頭。愛國反日運動，都是一班低下層屌絲發泄精力，黨還要提醒他們要節制，免得損了中日關係。中國底下層人反日傻B多，黨內菁英如王歧山卻識貨會讀蒙古世界史觀的岡田英弘。

中國是一個，裡面卻分三六九等，像金字塔，這個文明模式，空無點墨的教育官僚是否沒想過呢？老毛勸真心左膠文青：勸君少罵秦始皇。我們也要勸，若要認做中國人，就少罵點日本人。自己的中國性存在，會更加本真。因為近代東亞文化，全套經過日本改造，互相滲透，根本擺脫不了。

下等中國人比較反日

清末以來大部份知識份子，都是留日派；皇朝滅亡前後，中國現代知識，幾乎全部是日本進口。沒有和製漢語，白話文都不知道怎樣寫；沒有日本政治庇護反清失敗者，沒有日本黑龍會和泛亞主義者支持中國革命者，革命也不會在辛亥年爆發。

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當然，這與政治立場無關，親不親中，都應知道這些。日本就是新中國的 (其中一個) 師傅，怎樣都否認不了。恐怕只有街上和政府裡的盲毛，才以為日本和中國一向是世仇設立？當然動手的人，其實也不是在乎學問，而是想鬥人罷了。無緣無故才是鬥。

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杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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